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Partielle Differentialgleichungen und numerische MethodenPartielle Differentialgleichungen und numerische Methoden
Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden
Autoren: Larsson, Stig / Thomee, Vidar

Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden

Aus der Reihe: Springer-Lehrbuch Masterclass

2005. XII, 272 S. Br.
ISBN: 978-3-540-20823-5

Lehrbuch

39,95 €
Lieferbar, versandfertig in 3 Tagen
Das Buch
Das Buch ist für Studenten der angewandten Mathematik und der Ingenieurwissenschaften auf Vordiplomniveau geeignet. Der Schwerpunkt liegt auf der Verbindung der Theorie linearer partieller Differentialgleichungen mit der Theorie finiter Differenzenverfahren und der Theorie der Methoden finiter Elemente. Für jede Klasse partieller Differentialgleichungen, d.h. elliptische, parabolische und hyperbolische, enthält der Text jeweils ein Kapitel zur mathematischen Theorie der Differentialgleichung gefolgt von einem Kapitel zu finiten Differenzenverfahren sowie einem zu Methoden der finiten Elemente. Den Kapiteln zu elliptischen Gleichungen geht ein Kapitel zum Zweipunkt-Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen voran. Ebenso ist den Kapiteln zu zeitabhängigen Problemen ein Kapitel zum Anfangswertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen vorangestellt. Zudem gibt es ein Kapitel zum elliptischen Eigenwertproblem und zur Entwicklung nach Eigenfunktionen. Die Darstellung setzt keine tiefer gehenden Kenntnisse in Analysis und Funktionalanalysis voraus. Das erforderliche Grundwissen über lineare Funktionalanalysis und Sobolev-Räume wird im Anhang im Überblick besprochen.
Aus dem Inhalt

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.1 Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Physikalische Herleitung der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . 8
1.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
2.1 Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Elliptische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Das Dirichlet-Problem fur eine Kreisscheibe. Das
Poisson-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Fundamentallösungen. Die Greensche Funktion. . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Ein Neumann-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Finite Differenzenverfahren für elliptische Gleichungen : : : : 45
4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Die Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Die Methode der finiten Elemente für elliptische
Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Ein Modellproblem in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Eine a posteriori Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Eine Methode der gemischten finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . 75
5.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Das elliptische Eigenwertproblem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81
6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Numerische Lösung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Anfangswertprobleme für gewöhnliche
Differentialgleichungen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99
7.1 Das Anfangswertproblem für lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen . . . . . 105
7.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8 Parabolische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
8.1 Das reine Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Lösung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Variationsformulierung. Energieabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9 Finite Differenzenverfahren für parabolische Probleme : : : : : 133
9.1 Das reine Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches
Problem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153
10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente . . . . . . 153
10.2 Einige vollständig diskrete Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11 Hyperbolische Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167
11.1 Charakteristische Richtungen und Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.2 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.3 Skalare Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12 Finite Differenzenverfahren für hyperbolische Gleichungen: 189
12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.2 Symmetrische hyperbolische Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.3 Das Wendroff-Box-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13 Die Methode der finiten Elemente für hyperbolische
Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205
13.1 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
14 Weitere Klassen numerischer Methoden : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 223
14.1 Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
14.2 Spektralmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.3 Finite Volumenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.4 Randelementmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A Einige Hilfsmittel aus der Analysis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 231
A.1 Abstrakte lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.2 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
A.3 Die Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
A.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
B Überblick über numerische lineare Algebra : : : : : : : : : : : : : : : : 251
B.1 Direkte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
B.2 Iterative Verfahren. Relaxation, Überrelaxation und
Beschleunigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
B.3 Methode der alternierenden Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
B.4 PCG-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
B.5 Mehrgitterverfahren und Gebietszerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Literaturverzeichnis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 259
Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 263
Rezensionen
Aus den Rezensionen:
"Die gegenwärtige Darstellung unternimmt es, die elementare Theorie der (linearen) partiellen Differentialgleichungen in enger Verbindung mit numerischen Verfahren darzustellen. … Nach einem eindimensionalen Randwertproblem werden zunächst elliptische Gleichungen analytisch und dann numerisch diskutiert … auch Eigenwertprobleme fehlen nicht. … Erfreulicherweise fehlen auch hyperbolische Gleichungen nicht … Zusätzlich … findet man einen kurzen Überblick über einige wichtige Methoden zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme. - Insgesamt bietet die Darstellung … eine klare Einführung in grundlegende Konzepte sowohl der Theorie als auch der Numerik der drei Standardtypen linearer partieller Differentialgleichungen."
(H. Muthsam, in: Monatshefte für Mathematik, 2006, Vol. 148, S. 353f)
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